метод ньютона решениея систем

1,12 Mb.страница10/10Дата конвертации30.04.2012Размер1,12 Mb.Тип Смотрите также:                   10 ^ Лекция 17. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА-РАФСОНА Пусть требуется решить нелинейное уравнение (4.50). Перепишем это уравнение в виде . (4.54) Если функция f(x), ее первая и вторая производные непрерывны в окрестности решения р, то для решения уравнения (4.54) может быть использован метод Ньютона Рафсона (или просто Ньютона), который характеризуется более быстрой сходимостью, чем итерация неподвижной точки [1 4]. Если представить уравнение (4.54) графически, то его решением будет точка р пересечения графика y = f(x) с осью х (рис. 3.18). Пусть выбранное начальное приближение х = р0 достаточно близко к решению. Определим следующее приближение х = р1 как точку пересечения с осью х касательной к графику y = f(x) в точке х = р0. Точка х = р1 ближе к решению, чем х = р0 (см. рис. 3.18). Соотношение, связывающее р0 и р1, можно получить из выражения для тангенса угла наклона касательной к графику y = f(x), проходящей через точки х = р0 и х = р1: . (4.55)Рис. 3.18. Графическая интерпретация метода Ньютона РафсонаУчитывая, что f(p1) = 0 (см. рис. 3.18), получим . (4.56) Обобщая выражение (4.56) для k-й итерации, получим . (4.57) Пусть требуется решить систему нелинейных алгебраических уравнений размерностью n, записанную в виде (4.58)В матричном представлении система (4.58) может быть записана как , (4.59) где x = [x1, x2, , xn] вектор-столбец переменных; 0 в правой части вектор-столбец размерностью n, все элементы которого равны 0. Обобщенный метод Ньютона Рафсона на случай нелинейных систем произвольной размерностью n состоит в следующем: задание допустимой погрешности решения ; задание начального приближения x(0) = [x1(0), x2(0), , xn(0)]; нахождение следующего приближения к решению x(k) = [x1(k), x2(k), , xn(k)] путем подстановки текущего приближения x(k-1) = [x1(k-1), x2(k-1), , xn(k-1)] в итерационную формулу, аналогичную (4.57): , (4.60) где матрица размером n n, обратная матрице , (4.61) называемой матрицей Якоби [3], в точке x(k-1) = [x1(k-1), x2(k-1), , xn(k-1)]; определение погрешности k-го приближения в соответствии с выражением ; (4.62) если выполняется неравенство , (4.63) то найденное приближение к решению удовлетворяет заданной точности и итерационный процесс завершается выводом полученного результата. В противном случае осуществляется переход к п. 3 и выполняется новая итерация. Так же, как и итерация неподвижной точки, метод Ньютона Рафсона может давать расходящиеся последовательности приближений к решению, один из примеров которой показан на рис. 3.19 [3]. Кроме того, возможны

Лекция 1. Введение. Уравнения математической физики микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники.

Лекция 17. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА-РАФСОНА